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\ANG{
{\bf Algebra mit Zahlenmauern}

Du kennst vielleicht schon sogenannte Zahlenmauern. In der untersten 
Reihe k"onnen beliebige Zahlen geschrieben werden. In die "ubrigen 
Felder wird nun jeweils die Summe aus den Zahlen in den beiden darunter 
liegenden Steinen geschrieben.

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{02mhterm019p1} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Kannst du die oben stehende Zahlenmauer vervollst"andigen? 
Welche Zahl steht ganz oben? Wie viele Zahlen m"ussen mindestens 
vorgegeben werden, damit jeder die gleiche Zahlenmauer erh"alt?
 
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{02mhterm019p2} 
\end{center}

Vielleicht wolltet ihr euch bei der Beantwortung der ersten Frage schon 
auf  bestimmte Felder beziehen. Aus diesem Grund f"uhren wir die folgenden 
Bezeichnungen ein: \\

Was passiert nun beispielsweise mit der Zahl im Feld $F10$, wenn wir die 
Zahl in $F2$ um eins erh"ohen? Zur Beantwortung ist es hilfreich, einen Punkt 
zu betrachten, der die zus"atzliche Eins darstellt: 

\item F"ulle die Zahlenmauer vollst"andig aus. Erkl"are damit, wie sich $F10$ 
ver"andert, wenn man die Zahl in $F2 [F1; F3]$ um eins erh"oht.

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{02mhterm019p3} 
\end{center}


\item Wie wirken sich die Ver"anderungen aus Aufgabe $2$ auf f"unfreihige 
Zahlenmauern aus?


\item Wie ver"andert sich die Zahl in $F10$ in vierreihigen Zahlenmauern, 
wenn man die Zahl in $F2$ um $2$ erh"oht? Untersuche dies auch f"ur die 
anderen Felder.\\

Im Folgenden untersuchen wir ganz spezielle Zahlenmauern. Bei diesen stehen 
in der untersten Reihe aufeinander folgende nat"urliche Zahlen (Also zum 
Beispiel $5, 6, 7$). F"ur die Zahl im ersten Feld schreiben wir ganz 
allgemein "`$n$"', wobei dieses n f"ur irgendeine nat"urliche Zahl steht. Wir 
starten mit dreireihigen Mauern:

\item F"ulle die Tabelle allgemein aus. Welche Zahl steht im ersten Feld, 
wenn im obersten Feld die $128 [176]$ steht? Denke dir selbst eine Zahl aus, 
die im obersten Feld stehen k"onnte und lass deinen Nachbarn die erste Zahl 
angeben. 

\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{02mhterm019p4} 
\end{center}

\item Untersuche nun vierreihige Zahlenmauern. Welche Zahl steht im ersten 
Feld, wenn im obersten Feld die $124 [188]$ steht? Denke dir selbst eine Zahl 
aus, die im obersten Feld stehen k"onnte und lass deinen Nachbarn die erste 
Zahl angeben.

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{02mhterm019p5} 
\end{center}

\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Oben steht die $71$
\item $F2, F3$ um $1$ erh"ohen: Erh"ohung tritt dreimal auf. Damit erh"oht 
sich $F10$ um $3$ \\
$F1$ um $1$ erh"ohen: Erh"ohung tritt einmal auf. Damit erh"oht sich $F10$ um $1$
\item $F1$ um $1$ erh"ohen: Erh"ohung tritt einmal auf. Damit erh"oht sich $F10$ 
um $1$ \\
$F2$ um $1$ erh"ohen: Erh"ohung tritt viermal auf. Damit erh"oht sich $F10$ um $4$ \\
$F3$ um $1$ erh"ohen: Erh"ohung tritt sechsmal auf. Damit erh"oht sich $F10$ um $6$
\item $F1$: Erh"ohung um $2$; $F2, F3$: Erh"ohung um $6$; $F4$: Erh"ohung um $2$;
\item Oberstes Feld: $128$ $\to$ erstes Feld: $31$;  Oberstes Feld: $176$ $\to$ 
erstes Feld: $43$
\item Oberstes Feld: $124$ $\to$ erstes Feld: $14$;  Oberstes Feld: $188$ $\to$ 
erstes Feld: $22$
\end{enumerate}
}
