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\ANG{
{\bf Zahlentheoretische Anwendungen der binomischen Formeln}
\begin{enumerate}
\item 5-Quadrate \\
Berechne $15^2$, $25^2$, $35^2$, $45^2$, .... Finde eine Regel, wie man diese 5-Quadrate im Kopf berechnen kann.
\item Spiegelzahlen \\
$18 \times 22 = 20^2 - 2^2 = 400 - 4 = 396 $\\
$29 \times 31 = 30^2 - 1^2 = 900 - 1 = 899 $\\
Berechne im Kopf so wie in den Beispielen: $19 \times 21$, $53\times 47$ und $152 \times 148$. \\
Formuliere eine allgemeine Regel zu den Beispielen und versuche diese zu beweisen.
\item 
Nimm zwei aufeinander folgende gerade nat"urliche Zahlen (oder zwei aufeinander folgende ungerade nat"urliche Zahlen), 
multipliziere sie und addiere die Zahl 1. Probiere mehrere Beispiele. Erkennst du eine Regel? Formuliere und beweise diese.
\item 
Jede ungerade ganze Zahl l"asst sich als Differenz zweier Quadratzahlen schreiben. Formuliere eine Regel, wie das geht, und beweise den Satz. 
\item 
Wenn eine nat"urliche ganze Zahl n als Summe zweier Quadrate geschrieben werden kann, dann kann das Doppelte dieser Zahl, n"amlich 2n, 
auch als Summe zweier Quadrate geschrieben werden. Formuliere eine Regel, wie das geht, und beweise den Satz.
\end{enumerate}
}
\emph{L"osung:}

\begin{enumerate}
\item $(a \cdot 10 + 5)^2 = a^2 \cdot 100 + a \cdot 100 + 25 = (a^2 + a)\cdot 100 + 25 = a \cdot (a+1) 100 + 25 $
\item $(a - b) \cdot (a+b) = a^2 - b^2 $
\item $ x\cdot (x + 2) + 1 = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 $
\item $ (n + 1)^2 = n^2 + (2n + 1)$ , also $( n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1 $
\item $ x^2 + y^2 = n \Rightarrow (x + y)^2 + (x - y)^2 = 2n   $
\end{enumerate}
