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\ANG{
{\bf Das Bev"olkerungsgesetz von Thomas R. Malthus ($1766-1834$)}

Im Jahre $1798$ ver"offentlichte der englische Philosoph Thomas R. Malthus sein 
"`Essay on the Principles of Population"'. Er vermutete, dass die 
Nahrungsmittelerzeugung dem rasanten Bev"olkerungswachstum im Zuge der 
industriellen Revolution nicht w"urde folgen k"onnen, und prognostizierte 
permanente Hungersn"ote, die wir heute in Entwicklungsl"andern z.T. beobachten 
k"onnen. Zur Begr"undung seiner Thesen entwickelte er einfache Modelle f"ur das 
Wachstum von Populationen: die Bev"olkerung wachse exponentiell, die zur 
Verf"ugung stehenden Nahrungsmittel jedoch nur linear.\\
Mit seiner "`Wachstumsfunktion"' $N=N_{0}\cdot 1,0302^{t}$  gelang es 
Malthus, das Bev"olkerungswachstum in den USA f"ur die erste H"alfte des $19.$ 
Jahrhunderts gut zu beschreiben:

\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{03mhexpo001p1} 
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Jahr & $1790$ & $1800$ & $1810$ & $1820$ & $1830$ & $1840$ & $1850$ & $1860$ \\
\hline
$N$ (in Mio.) & $N_{0} =3,9$ & $5,3$ & $7,2$ &  $9,6$ & $12,9$ & $17,1$ & $23,2$ & $31,4$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Vergleiche die Angaben aus Volksz"ahlungen mit den "`theoretischen"' 
Werten der Wachstumsfunktion.
\item Aus sp"ateren Volksz"ahlungen sind folgende Anzahlen bekannt:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
Jahr & $1880$ & $1900$ & $1930$ & $1970$ \\
\hline
$N$ (in Mio.) & $50,2$ & $76,0$ & $123,2$ & $203,2$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

"Uberpr"ufe, ob die Wachstumsfunktion noch sinnvoll ist. Begr"unde!

\item Betrachtet wird eine Bev"olkerung, die zu Beginn eines bestimmten Jahres 
aus 1 Million Personen besteht und j"ahrlich um $3\%$ w"achst. Zum gleichen 
Zeitpunkt w"aren Nahrungsmittel f"ur $2$ Millionen Personen verf"ugbar, wobei die 
Produktion der Nahrungsmittel f"ur j"ahrlich $100000$ Personen gesteigert werden 
k"onnte. Untersuche diese Entwicklung (mithilfe einer Tabellenkalkulation). In 
welchem Jahr "ubersteigt die Anzahl der Personen die zur Verf"ugung stehenden 
Mittel?
\end{enumerate}
}
Quelle: Abakus 10 (1995), Sch"oningh


\LSG{
\begin{enumerate}
\item 

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
 $3,9$ & $5,3$ & $7,1$ & $9,5$ & $12,8$ & $17,3$ & $23,2$ & $31,3$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item 

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$56,8$ & $102,9$ & $251,2$ & $825,9$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Gr"unde f"ur die schlechte Passung: Weltkriege und Rezessionen f"uhren zu einem 
ver"anderten Fortpflanzungsverhalten

\item $f(t)=1.000.000 \cdot 1,03^{t}$ und $g(t)=100.000t+2.000.000$

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$t$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $\dots$ & $75$ & $76$ & $77$ & $78$ \\
\hline
$f(t)$ in Mio & $1$ & $1,03$ & $1,06$ & $1,09$ & $1,13$ & $1,16$ &  & $9,2$ & $9,5$ & $9,7$ & $10,0$ \\
\hline
$g(t)$ in Mio & $2$ & $2,1$ & $2,2$ & $2,3$ & $2,4$ & $2,5$ &  & $9,5$ & $9,6$ & $9,7$ & $9,8$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Tabellarische Darstellung ist auch im Sinne einer systematischen 
Einschachtelung m"oglich. Ansatzweise Termumformung: $1.000.000 \cdot 1,03^{t}=
2.000.000+100.000t \Leftrightarrow 1,03^{t}-0,1t=2$. Hier ist der Tippaufwand 
geringer als oben und die L"osung schneller erreichbar: $76<t<77$.
\end{enumerate}
}
