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\ANG{
{\bf Wann verdoppelt sich das Geld?}

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\begin{tabular}{|p{12cm}|}
\hline
{\bf Geldanlage: } \newline
{\bf Wann verdoppelt sich das Geld? } \newline
Das ist leicht auszurechnen, wie die Gesellschaft f"ur Bankpublizit"at mitteilt. 
Daf"ur m"ussen Sie lediglich die Zahl $70$ durch die Rendite der Kapitalanlage 
teilen. Das bedeutet beispielsweise, bei einem Zinssatz von sieben Prozent 
sind aus angelegten $20.000$ Euro in $10$ Jahren bereits $40.000$ Euro geworden 
($70:7=10$).\newline
Betr"agt die Rendite f"unf Prozent, dauert es entsprechend l"anger, n"amlich $14$ 
Jahre, bis sich das Kapital verdoppelt. \newline
Voraussetzung, damit die Rechnung aufgeht, ist allerdings, dass Sie die 
f"alligen Zinsen zu gleichen Bedingungen regelm"a"sig wieder anlegen und so den 
Zinseszins-Effekt nutzen.\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Was meinst du dazu?
}

Quelle: Herget/Scholz: Die etwas andere Aufgabe aus der Zeitung

\LSG{
Diese "`Faustformel"' liefert in dem "`"ublichen"' Zinsbereich sehr brauchbare 
Werte: Die Verdopplungszeit berechnet man mit: 
$2K_{0}=K_{0}(1+\frac{p}{100})^{d}$ umgeformt ergibt sich: 
$\lg2=d \cdot \lg(1+\frac{p}{100})$, d.h. $d\approx \frac{0,3}{\lg(1+\frac{p}{100})}$. \\ 
Hintergrund-Info f"ur Lehrer: Es gilt: $\ln2=d \cdot \ln(1+\frac{p}{100})$, wegen 
$\ln(1+x)\approx x$ (f"ur kleine $|x|$) folgt: $d \cdot \frac{p}{100}\approx 
\ln2\approx 0,6931\approx 0,7$, d.h. $d \cdot p\approx 70$.\\
F"ur sehr kleine $p$ w"are also eigentlich $69$ noch besser als $70$ - aber $70$ 
l"asst sich nat"urlich leichter merken, und f"ur die "`"ublichen"' Zinss"atze 
liefert die $70$ tats"achlich bessere Werte.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$p\%$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$ & $13$ & $15$ \\
\hline
$t$ exakt & $17,7$ & $14,2$ & $11,9$ & $10,2$ & $9,0$ & $8,0$ & $7,3$ & $6,6$ & $6,1$ & $5,7$ & $5,0$ \\
\hline
$t$ Artikel & $17,5$ & $14$ & $11,7$ & $10$ & $8,75$ & $7,8$ & $7$ & $6,4$ & $5,8$ & $5,4$ & $4,7$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
}
