%
% 
\ANG{
{\bf Geometrische Figuren}

Die Abbildung zeigt den Beginn einer Folge geometrischer Figuren. Das 
Konstruktionsprinzip ist bei jedem Schritt dasselbe:\\
Jede Strecke wird gedrittelt. "Uber dem mittleren St"uck wird ein gleichseitiges 
Dreieck aufgesetzt.\\
Offensichtlich wird die L"ange des Streckenzuges von Schritt zu Schritt gr"o"ser.\\
Berechne die L"ange des Streckenzuges nach $4, 40, 400$ und $100000$ Schritten.\\
Handelt es sich um exponentielles Wachstum?

\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{03mhexpo023p1} 
\end{center}
}
Quelle: Lambacher Schweizer 10

\LSG{
Zur Vereinfachung: Ausgangsstrecke $1$ LE.\\
{\bf $1.$ Schritt:} $\frac{4}{3}=1+\frac{1}{3}$\\
{\bf $2.$ Schritt:} $4\cdot \frac{4}{9}=\frac{16}{9}=1+\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$\\
{\bf $3.$ Schritt:} $16\cdot \frac{4}{27}=\frac{64}{27}=1+\frac{1}{3}+\frac{4}{9}+
\frac{16}{27}$\\
{\bf $4.$ Schritt:} $64\cdot \frac{4}{81}=\frac{256}{81}=1+\frac{1}{3}+\frac{4}{9}+
\frac{16}{27}+\frac{64}{81}$\\
{\bf $n.$ Schritt:} $(\frac{4}{3})^{n}=1+\sum_{i=1}^{n}\frac{4^{i-1}}{3^{i}}$

Es handelt sich um exponentielles Wachstum  mit dem Wachstumsfaktor $\frac{3}{4}$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
$n$ & L"ange \\
\hline
$4$ & $3,16049$ \\
\hline
$40$ & $99437,3$ \\
\hline
$400$ & $9,45317\cdot 10^{49}$ \\
\hline
$100.000$ & $7,47585\cdot 10^{1249}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
}
