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\ANG{
{\bf Gleichungen bestimmen}

Von drei verschiedenen quadratischen Gleichungen der Form $x^{2}+px+q$ ist 
jeweils eine besondere Eigenschaft bekannt:
\begin{enumerate}
\item Gleichung 1: Die L"osungen unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.
\item Gleichung 2: Eine L"osung ist der Kehrwert der anderen.
\item Gleichung 3: Genau eine der beiden L"osungen ist $0$.
\end{enumerate}
Mache jeweils begr"undete Aussagen "uber die Koeffizienten $p$ und $q$.
}
\LSG{
Hier benutzt: Satz von Vieta\\
Sind $x_{1}$ und $x_{2}$ die L"osungen einer quadratischen Gleichung der Form 
$x^{2}+px+q$, dann gilt: $x_{1} + x_{2} = -p$ und $x_{1} \cdot x_{2} = q$.
\begin{enumerate}
\item Die L"osungen unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen: $x_{2}=-x_{1}$ \\
Also:   $x_{1}-x_{1}=0=-p$ und $x_{1} \cdot (-x_{1})=x_{1}^{2}=q$ \\
Also: $p=0$ und $q<0$. F"ur $q$ gilt weiterhin oben stehende Beziehung.
\item Eine L"osung ist der Kehrwert der anderen: $x_{2}=\frac{1}{x_{1}}$ \\
Also: $x_{1}+\frac{1}{x_{1}}=\frac{x_{1}^{2}+1}{x_{1}}=-p \Leftrightarrow 
(x_{1}+\frac{p}{2})^{2}=\frac{p^{2}}{4}-1$ und $x_{1} \cdot \frac{1}{x_{1}}=1=q$ \\
Also: $q=1$ und $|p|>2$. F"ur $p$ gilt weiterhin oben stehende Beziehung.
\item Genau eine der beiden L"osungen ist $0$: Sei o.B.d.A. $x_{1}=0$ \\
Also: $0+x_{2}=-p$ und $0 \cdot x_{2} = q$ \\
Also: $q=0$ und $p \ne 0$, denn sonst gibt es keine zweite L"osung. F"ur $p$ 
gilt weiterhin oben stehende Beziehung.
\end{enumerate}
}
