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\ANG{
{\bf Tagesl"ange}

\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{03mhtrigo001p1} 
\end{center}

Im Verlauf eines Jahres "andert sich aufgrund der geneigten Erdachse die 
astronomische Sonnenscheindauer, d.h. die Zeitspanne zwischen Sonnenaufgang 
und -untergang. In unseren Breiten ist die Sonne am $21.6.$ mit ca. $16,5$ 
Stunden am l"angsten und am $21.12.$ mit ca. $8$ Stunden am k"urzesten zu sehen.
\begin{enumerate}
\item W"ahle aus den folgenden drei allgemeinen trigonometrischen Funktionen 
eine aus und stelle mit ihr eine Funktionsgleichung auf, die die Tagesl"ange im 
Verlauf eines Jahres angibt ($x$-Achse: Anzahl der Tage / $y$-Achse: Tagesl"ange).
	\begin{enumerate}
	\item[1.] $f(x) = a \cdot \sin (b \cdot (x - c)) + d$
	\item[2.] $g(x) = a \cdot \cos (b \cdot (x - c)) + d$
	\item[3.] $h(x) = a \cdot \tan (b \cdot (x - c)) + d$
	\end{enumerate}
\item Bestimme mithilfe der Gleichung aus Aufgabe (a) die Tagesl"angen am $10.$ 
Juli.
\item In der folgenden Tabelle siehst du exemplarisch f"ur jeden Monat die 
astronomische Sonnenscheindauer f"ur jeweils einen Tag angegeben. "Uberpr"ufe, 
in welchen Monaten deine Funktion besonders gro"se bzw. besonders kleine 
Abweichungen von der tats"achlichen astronomischen Sonnenscheindauer hat, und 
versuche, deine Funktion zu optimieren. 


\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Datum & $21.01$ & $21.02$ & $21.03$ & $21.04$ & $21.05$ & $21.06$ & $21.07$ & $21.09$ & $21.10$ & $21.11$ & $21.12$ \\
\hline
Tagl"ange $[h]$ & $8,65$ & $10,40$ & $12,24$ & $14,24$ & $15,86$ & $16,60$ & 
$15,71$ & $12,27$ & $10,35$ & $8,61$ & $7,86$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Wann "andert sich von einem auf den anderen Tag die Tagesl"ange am 
meisten? Versuche herauszufinden, ob sich dies astronomisch erkl"aren l"asst! 
\end{enumerate}
}
Quelle: Elemente der Mathematik 11 (2000)

\LSG{
\begin{enumerate}
\item Modellierung durch Sinuskurve $f(x) = a \cdot \sin (b \cdot (x - c)) + d$:\\
Periodenl"ange betr"agt ca. $365$ Tage. Damit klar: $b=\frac{2\pi}{365}$\\
Maximum wird am $21.6.$ ($172.$ Tag) und. Minimum am $21.12.$ ($355.$ Tag) 
angenommen. Folglich muss die Amplitude $a$ als $\frac{16,5-8}{2}=4,25$ 
festgesetzt werden. Der Mittelwert von $12,25$ wird dabei ungef"ahr am $21.3.$ 
(dem $80$. Tag) und $21.9.$ angenommen. Damit sind auch $c$ und $d$ klar. 
Insgesamt erhalten wir: $f(x)=4,25 \sin(\frac{2\pi}{365}\cdot(x-80))+12,25$.
\item Der $10.$ Juli ist der $191$ Kalendertag. Demnach 
$f(191)=4,25 \sin(\frac{2\pi}{365}\cdot(191-80))+12,25=16,26 \approx 16$
\end{enumerate}
}

