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\ANG{
{\bf Pythagoras auf Hawaii}

Mitte Oktober findet allj"ahrlich die Weltmeisterschaft im Triathlon 
("`IronMan"') auf Big Island (Hawaii) statt. Dabei m"ussen folgende Distanzen 
zur"uckgelegt werden:\\
	$3,8\,\mathrm{km}$ Schwimmen im Meer,\\
	$180,0\,\mathrm{km}$ Radfahren und\\
	$42,2\,\mathrm{km}$ Laufen (Marathon).\\
Die Schwimmstrecke ist ein Rechteckkurs. \\
Alle $1400$ Teilnehmer starten gleichzeitig von der $70\,\mathrm{m}$ breiten 
Bucht. Nachdem sie die beiden Wendebojen passiert haben, gehen sie im Ziel 
wieder an Land. 

\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{04mhpyth001p1} 
\includegraphics[width=16cm]{04mhpyth001p2} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Wie viele Teilnehmer stehen auf einem Meter, wenn sich beim Start alle 
gleichm"a"sig auf die Bucht verteilen?
\item Wie lang ist die Strecke auf der Ideallinie? Zeichne alternative 
Strecken und berechne deren L"ange.
\item Welche Strecke legt ein Schwimmer zus"atzlich zur"uck, der (linksstartend) 
zun"achst $1500\,\mathrm{m}$ geradeaus schwimmt und dann Kurs auf die erste 
Wendeboje nimmt?
\item Wie viel Zeit verliert dieser Schwimmer wenn er $100\,\mathrm{m}$ 
durchschnittlich in $1:30$ min schwimmt?
\item Wie viel Prozent macht dieser Zeitverlust gegen"uber seiner theoretisch 
erreichbaren Zeit (Schwimmen auf der Ideallinie) aus?
\item Wie gro"s ist der Zeitverlust, wenn ein Teilnehmer vom linken Rand der 
Bucht direkt die erste Boje ansteuert?
\item Wie wirkt sich das Gedr"ange auf einen Schwimmer aus? Oder: Finde 
m"ogliche mathematische Beschreibungen des Vorteils nicht im Gedr"ange schwimmen 
zu m"ussen (z.B. h"ohere konstante Geschwindigkeit oder prozentualer Vorteil) 
und berechne jeweils die Gesamtzeiten.
\item Wie viel schneller m"usste der Schwimmer au"serhalb des Gedr"anges 
mindestens sein, damit er den Nachteil der l"angeren Strecke ausgleichen kann?
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $20$ Teilnehmer pro Meter bei gleichm"a"siger Verteilung. Allerdings 
H"aufung auf der rechten Seite zu erwarten. 
\item Schwimmen auf der Ideallinie: Strecke $= 3800\,\mathrm{m}$.
\item L"ange der Alternativroute: $\sqrt{70^{2}+300^{2}} \approx 308,1$; 
also zus"atzliche Strecke von ca. $8,1\,\mathrm{m}$.
\item Zeitverlust: $90 \cdot 0,081=7,29$; also rund $7$ Sekunden.
\item Insgesamt ben"otigte Zeit $=1,5 \cdot 38 = 57\,(min)$. Damit ein 
Zeitverlust von ca. $0,2\%$.
\item Zus"atzliche Strecke: $1,36\,\mathrm{m}$; dies entspricht einem 
Zeitverlust von ca. einer Sekunde. Es stellt sich allerdings die Frage, ob die 
Diagonalstrecke frei ist.
\item z.B.: Die Geschwindigkeit des Schwimmers verringert sich im Gedr"ange so, 
dass er durchschnittlich f"ur $100\,\mathrm{m}\ 1:40\,\mathrm{min}$ braucht. Dann 
ben"otigte Zeit auf Ideallinie (nur bis zur ersten Boje): 
$\frac{5}{3} \cdot 18 = 30$; also $30$ Minuten. Ben"otigte Strecke bis zur 
ersten Boje mit Umweg (wie $3$): $1808,1\,\mathrm{m}$; also Zeit: 
$1,5 \cdot 18,081 \approx 27,1$; also $27$ Minuten und $7$ Sekunden.
\item z.B.: Die Geschwindigkeit des Schwimmers, der den Umweg schwimmt sei $x$. 
Der Schwimmer auf der Ideallinie legt $100\,\mathrm{m}$ in $90\,\mathrm{sek}$ 
zur"uck. Dann gilt: $90 \cdot 18 = x \cdot 18,081 \Leftrightarrow x \approx 89,6$;
 also ungef"ahr genauso lange, falls der Schwimmer $100\,\mathrm{m}$ 
 durchschnittlich in $89,6\,\mathrm{sek}$ zur"ucklegt.
\end{enumerate}
}
