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\ANG{
{\bf Wie lang ist die Diagonale im Rechteck}

Zun"achst wird an die vorangegangene Unterrichtseinheit angekn"upft und die 
L"ange der Diagonalen im Quadrat bestimmt. (Teilen von zwei identischen 
Quadraten durch Diagonalschnitt). Wichtig ist, dass die Sch"uler begr"unden, 
warum beim Zusammenlegen alles passt.\\
Nun kann die Frage gestellt werden, ob sich zur Bestimmung der Diagonalenl"ange 
im Rechteck nicht analog zwei kongruente Rechtecke zerlegen lassen. Die 
Sch"ulerinnen und Sch"uler erhalten dazu Papier und Schere, damit sie 
experimentieren k"onnen. \\
Die naheliegende Figur (die Raute) l"ost das Problem nicht, aber weiteres 
Probieren d"urfte mit ziemlicher Sicherheit in jeder Klasse auf die dem 
indischen Mathematiker Bhaskara ($12$ Jh.) zugeschriebene Konfiguration f"uhren: 
Die vier rechtwinkligen Teildreiecke bilden ein Quadrat mit einem 
quadratischen Loch. Das Quadrat hat die Seitenl"ange $c$, das Loch die 
Seitenl"ange $(a - b)$.\\
Damit l"asst sich die Gleichung $c^{2}=4 \cdot \frac{1}{2} \cdot ab + (a-b)^{2}$ 
aufstellen und unter Benutzung der zweiten binomischen Formel in den Satz des 
Pythagoras umformen.\\
Die Beweislast liegt im Nachweis, dass wirklich Quadrate entstehen. Hierzu 
muss man wie im Spezialfall die Kongruenz der Teildreiecke, den rechten Winkel 
in jedem Teildreieck und die Tatsache heranziehen, dass die restlichen Winkel 
jedes Teildreiecks zusammen einen rechten Winkel bilden. Kritisch ist die 
Stelle, wo drei rechtwinklige Dreiecke bereits zusammengesetzt sind und 
bewiesen werden muss, dass das vierte Dreieck wirklich eingepasst werden kann.

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\includegraphics[width=7cm]{04mhpyth008p1} 
\end{center}
}
