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\ANG{
{\bf Basketball }

"`Wie muss man den Basketball beim Freiwurf werfen, damit er im Korb landet?"' 
Um sich dar"uber Klarheit zu verschaffen, ist es hilfreich, folgende Fragen zu 
beantworten:
\begin{enumerate}
\item Wie gro"s muss der Einfallswinkel beim Korbwurf mindestens sein, damit 
der Ball ungest"ort (ohne Ber"uhrung des Korbringes) und auf direktem Wege 
(ohne Verwendung des Spielbretts) ins Netz fallen kann?
\item Bei einem erfolgreichen Korbwurf geht idealerweise der Mittelpunkt des 
Balles durch den Mittelpunkt des Korbringes. Aber auch bei Abweichung von der 
Ideallinie ist ein erfolgreicher Wurf m"oglich. Wie gro"s darf die Abweichung 
sein?
\item Wie gro"s darf die seitliche Winkelabweichung? (d.h. nach links oder 
rechts) sein?
\end{enumerate}

\begin{center}
\includegraphics[width=16cm]{04mhtrigo006p1}  
\end{center}
}
Quelle: mathematik lehren (1999), H. 95, S. 21-49

\LSG{
\begin{enumerate}
\item Das Ma"s des Einfallswinkels nennen wir $\beta$. Den Durchmesser des 
Balles nennen wir $D_{B}$. Wir lassen $D_{B}$ zun"achst variabel. Nach der 
nebenstehenden Abbildung gilt dann: $\sin\beta=\frac{d}{45\,\mathrm{cm}}$. 
Wegen $d \geqq D_{B}$ muss also gelten: 
$\sin\beta \geqq \frac{D_{B}}{45\,\mathrm{cm}}$. Nach den offiziellen 
Basketballregeln gilt f"ur den Umfang $U_{B}$ des Balles: $75\,\mathrm{cm} \leqq 
U_{B} \leqq 78\,\mathrm{cm}$. Daraus ergibt sich f"ur $D_{B}$: 
$\frac{75\,\mathrm{cm}}{\pi} \leqq D_{B} \leqq \frac{78\,\mathrm{cm}}{\pi}$, 
also $23,8\dots\,\mathrm{cm} \leqq D_{B} \leqq 24,8\dots\,\mathrm{cm}$. F"ur 
einen Ball mit dem kleinstm"oglichen Umfang erhalten wir demnach: $\beta \geqq 
32,0^{\circ}\ (\beta \leqq 90^{\circ})$. F"ur einen Ball mit dem gr"o"stm"oglichen 
Umfang ergibt sich: $\beta \geqq 33,5^{\circ}\ (\beta \leqq 90^{\circ})$.

\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{04mhtrigo006p2}  
\end{center}

\item $\bigtriangleup L$ (siehe Skizze) ist vom Einfallswinkel $\beta$ abh"angig. 
Es gilt ($D_{K}$ ist der innere Durchmesser des Korbringes: $\sin\beta=
\frac{|\overline{FG}|}{D_{K}}=\frac{|\overline{AE}|}{2\cdot\bigtriangleup L}$ 
und $|\overline{AE}|=|\overline{FG}|-2r_{B}$.\\
Daraus ergibt sich: $2\cdot\bigtriangleup L=\frac{|\overline{AE}|}{\sin\beta}=
\frac{|\overline{FG}|-2r_{B}}{\sin\beta} = \frac{D_{K}\cdot \sin\beta - D_{B}}{\sin\beta}=
D_{K}-\frac{D_{B}}{\sin\beta}$ also $(1)\quad \bigtriangleup L=\frac{1}{2}(D_{K}-\frac{D_{B}}{\sin\beta})$. 
Wir argumentieren: Je gr"o"ser $\beta$, desto gr"o"ser $\sin\beta$, desto kleiner $\frac{1}{\sin\beta}$, desto 
kleiner $\frac{D_{B}}{\sin\beta}$, desto gr"o"ser $D_{K}-\frac{D_{B}}{\sin\beta}$, also auch desto gr"o"ser 
$\bigtriangleup L$.\\
$\bigtriangleup L$ ist am gr"o"sten, wenn $\beta$ am gr"o"sten ist, n"amlich wenn $\beta = 90^{\circ}$ betr"agt. 
Dann gilt: $\bigtriangleup L=\frac{1}{2}(D_{K}-D_{B})=r_{K}-r_{B}$.\\
Im Folgenden legen wir f"ur $D_{K}$ das arithmetische Mittel von $75\,\mathrm{cm}$ und $78\,\mathrm{cm}$ 
zugrunde (also $76,5\,\mathrm{cm}$) und verwenden $D_{B} = 24,4\,\mathrm{cm}$. Unter dieser Annahme 
berechnen wir f"ur $\bigtriangleup L$ die verschiedenen Werte von $\beta$:

\begin{center}
\begin{tabular}{c|c}
$\beta$ & $\bigtriangleup L$ \\
\hline
$45^{\circ}$ &  $5,2\,\mathrm{cm}$ \\
$60^{\circ}$ &  $8,4\,\mathrm{cm}$ \\
$75^{\circ}$ &  $9,9\,\mathrm{cm}$ \\
$90^{\circ}$ &  $10,3\,\mathrm{cm}$ \\
\end{tabular}
\end{center}

Indem wir in der Gleichung $(1) \bigtriangleup L = 0$ setzen und den zugeh"origen Winkel $\beta$ geeignet 
interpretieren, erhalten wir nat"urlich auch eine Antwort auf die erste Problemstellung: 
$D_{K}-\frac{D_{B}}{\sin\beta}$ f"uhrt zu $\sin\beta=\frac{D_{B}}{D_{K}}$.

\begin{center}
\includegraphics[width=16cm]{04mhtrigo006p3}  
\end{center}

\item Das Ma"s des Winkels der maximal m"oglichen seitlichen Abweichung bezeichnen wir mit $\alpha$. Es 
gilt: $r_{K}-r_{B} = 22,5\,\mathrm{cm}-12,2\,\mathrm{cm} = 10,3\,\mathrm{cm}$. Gem"a"s der nebenstehenden 
Abbildung ergibt sich: $\tan\beta=\frac{10,3\,\mathrm{cm}}{\sqrt{h^{2}+L^{2}}}$.\\

\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{04mhtrigo006p4}  
\end{center}

Lassen wir $L$ konstant, so gilt: Je gr"o"ser ein Basketballspieler ist, desto kleiner ist $h$, desto 
gr"o"ser ist $\tan\alpha$.\\
Lassen wir $h$ konstant, so gilt: Je weiter ein Basketballspieler vom Korb entfernt ist, das hei"st je 
gr"o"ser $L$ ist, desto kleiner ist $\tan\alpha$ und damit auch $\alpha$. Wir berechnen einige Werte von 
$\alpha$:


\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
$h$ & $L$ & $\alpha$ \\
\hline
$70\,\mathrm{cm}$ & $423\,\mathrm{cm}$ Freiwurf& $1,38^{\circ}$ \\
$90\,\mathrm{cm}$ & $423\,\mathrm{cm}$ & $1,36^{\circ}$ \\
$130\,\mathrm{cm}$ & $423\,\mathrm{cm}$ & $1,33^{\circ}$ \\
 &  &  \\
$90\,\mathrm{cm}$ & $200\,\mathrm{cm}$ & $2,69^{\circ}$ \\
$90\,\mathrm{cm}$ & $600\,\mathrm{cm}$ & $0,97^{\circ}$ \\
\end{tabular}
\end{center}
	
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{04mhtrigo006p5}  
\end{center}

\end{enumerate}
}
