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\ANG{
{\bf W"urfel des Herrn Efron}

Die sechs Seiten eines W"urfels m"ussen nicht unbedingt mit den Zahlen von eins 
bis sechs beschriftet sei, sie k"onnen ganz unterschiedliche Beschriftung haben. \\
F"ur ein einfaches, aber im Ergebnis recht verbl"uffendes W"urfelspiel kann man 
die unten abgebildeten "`W"urfel des Herrn Efron"' verwenden. Es handelt sich 
dabei um drei verschiedenfarbige und unterschiedlich beschriftete W"urfel. Ihr 
k"onnt sie leicht herstellen, indem ihr auf herk"ommliche W"urfel kleine 
Papierstreifen (W"urfelnetze) klebt und diese entsprechend beschriftet.

\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{05mhws002p1} 
\end{center}

Spielregel (f"ur zwei Spieler):
\begin{itemize}
\item Jeder Spieler erh"alt sechs M"unzen. 
\item Der erste Spieler w"ahlt einen der drei W"urfel.
\item Der zweite Spieler w"ahlt einen anderen W"urfel.
\item Beide Spieler w"urfeln. Wer die h"ohere Augenzahl erreicht, gewinnt und 
erh"alt vom Verlierer eine M"unze.
\item Die Schritte $1 - 4$ werden wiederholt bis ein Spieler keine M"unzen 
mehr hat.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Welchen W"urfel sollte der zweite Spieler w"ahlen, wenn der erste Spieler 
den blauen W"urfel $(5,5,2,2,2,2)$ gew"ahlt hat?
\item Gibt es einen besonders g"unstigen W"urfel?
\item Die Spielregeln sollen ge"andert werden: die H"ohe der Ergebnisse soll 
ber"ucksichtigt werden. Wer die gr"o"sere Zahl w"urfelt, erh"alt so viele M"unzen 
wie die Differenz der Augenzahlen ausmacht. \\
Ist das Spiel nun fair und wenn ja warum?
\item "Uberlegt euch ein eigenes m"oglichst faires Gl"ucksspiel mit von euch 
beschrifteten W"urfeln (auch Zahlen "uber $6$ sind m"oglich!). 
\end{enumerate}

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{05mhws002p2} 
\end{center}
}
Quelle: Mathe Live 8, S. 57f.

Variationen:
\begin{enumerate}
\item Zus"atzliche Behandlung des Erwartungswertes (man spricht von Efron-W"urfeln, wenn alle den gleichen Erwartungswert haben)
\item Angenommen, es sind drei Spieler, die mit allen drei W"urfeln spielen. Wer gewinnt jetzt?
\end{enumerate}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item Am besten w"ahlt man den roten W"urfel, da dieser mit $66\%$ 
Wahrscheinlichkeit gegen den blauen W"urfel gewinnt. 
\item Wenn man die erste Wahl hat, ist man immer benachteiligt, da der zweite 
Spieler immer einen auf den ersten abgestimmten "`besseren"' W"urfel w"ahlen 
kann. \\
$B \to R \quad	R \to G	\quad G \to B$ [$B, R, G$: Blauer, roter und gr"uner W"urfel]
\item Jetzt ist das Spiel fair. Begr"undung beispielsweise "uber identische 
Augensummen
\end{enumerate}
}
