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\ANG{
{\bf Das "`$3$-T"uren-Problem"'}

In der amerikanischen Fernsehshow "`Let's make a deal"' ist ein Auto ein 
Hauptpreis. Um ihn zu gewinnen, muss sich der Kandidat schlie"slich f"ur die 
richtige von drei verschlossenen T"uren entscheiden. Hinter einer befindet sich 
das Auto, hinter den beiden anderen jeweils eine Ziege. Wenn sich der Kandidat 
f"ur eine der drei T"uren entschieden hat, zum Beispiel f"ur T"ur $1$, "offnet der 
Moderator, der wei"s, was sich hinter den T"uren befindet, mit den Worten 
"`Soll ich Ihnen 'mal 'was zeigen?"' eine der beiden anderen T"uren, zum 
Beispiel T"ur $3$, und eine Zeige schaut ins Publikum, denn der Moderator 
"offnet niemals die T"ur, hinter der das Auto steht.

\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{05mhws006p1} 
\end{center}

Der Kandidat hat nun noch die M"oglichkeit, sich f"ur die andere verschlossene 
T"ur (hier T"ur $2$) zu entscheiden oder bei seiner urspr"unglichen Wahl zu 
bleiben(hier T"ur $1$). Was soll der Kandidat machen? Diese Frage wurde der 
Journalistin {\it Marilyn vos Savant}, die angeblich der Mensch mit dem h"ochsten 
Intelligenzquotienten ist, von einem Leser der Zeitschrift "`Parade"' gestellt. 
In ihrer Kolumne "`Ask Marylin"' antwortete sie, dass der Kandidat auf jeden 
Fall wechseln sollte. Dieses Vorgehen w"urde seine Gewinnwahrscheinlichkeit 
verdoppeln, n"amlich von $\frac{1}{3}$ auf $\frac{2}{3}$. Daraufhin erhielt sie 
etwa zehntausend Leserbriefe, die diese Strategie f"ur falsch hielten.

{\bf Argumentation von Marylin vos Savant} \\
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter T"ur $1$ befindet, ist 
$\frac{1}{3}$. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter einer der 
beiden anderen T"uren befindet, ist somit $\frac{2}{3}$. Mindestens hinter 
einer dieser beiden T"uren steht eine Ziege. \\
"Offnet der Moderator eine dieser T"uren, so steht die T"ur fest, hinter welcher 
das Auto mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{2}{3}$ steht. Also empfiehlt es 
sich, die gew"ahlte T"ur zu wechseln. Die Chance auf den Hauptgewinn verdoppelt 
sich. 

{\bf Argumentation der meisten Leser} \\
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter T"ur $1$ befindet, ist 
$\frac{1}{3}$, genauso wie f"ur jede der beiden anderen T"uren. \\
"Offnet der Moderator eine der beiden anderen T"uren, zum Beispiel T"ur $3$, so 
scheidet diese T"ur als m"ogliche Auto-T"ur aus. Die Wahrscheinlichkeit, dass 
sich das Auto hinter T"ur $1$ befindet, betr"agt jetzt $\frac{1}{2}$, genauso 
wie f"ur T"ur $2$. Es gibt also keinen Grund die T"ur zu wechseln. Die 
Gewinnchance ist f"ur beide T"uren gleich.

\begin{enumerate}
\item Diskutiert die beiden unterschiedlichen Argumentationen zu zweit.
\item Wenn du als Kandidat entscheiden m"usstest, w"urdest du die T"ur wechseln 
oder nicht? Begr"unde deine "Uberlegung!
\item "Uberpr"uft eure "Uberlegungen an einem Experiment, das dem 
"`$3$-T"uren-Problem"' entspricht (z.B. drei W"urfelbecher und eine M"unze als 
Gewinn).
\end{enumerate}
}
Quelle: Zahlen und Gr"o"sen 8, S. 159

Variationen:
\begin{enumerate}
\item Sch"uler schreiben ihre eigene Argumentation
\item $1000$ T"uren, von denen der Moderator $98$ "offnet
\item Simulation im Internet nutzen: www.zufallsgeneratoren.de
\end{enumerate}

\LSG{
Auch wenn es immer noch nicht alle glauben, hat Marylin vos Savant recht.
}
